半角公式の証明

証明

• ${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}$

• ${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}$

• ${\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }$

となることを証明する。

• ピタゴラスの基本三角公式 ( ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ ) より、

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$・・・①

二倍角公式 ( $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ )に①の式を代入すると、

$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$・・・②

②の式を変形すると、

${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$・・・③

③の式に $\theta =\frac{\theta }{2}$ を代入すると、

${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}$・・・④

• ピタゴラスの基本三角公式 ( ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ ) より、

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$・・・①’

二倍角公式 ( $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ )に①‘の式を代入すると、

$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$・・・②’

②’の式を変形すると、

${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$・・・③’

③’の式に $\theta =\frac{\theta }{2}$ を代入すると、

${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}$・・・④’

• ${\tan }^2\theta =\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }$・・・①”

①”の式に $\theta =\frac{\theta }{2}$ を代入すると、

${\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{{\sin }^2\frac{\theta }{2}}{{\cos }^2\frac{\theta }{2}}$・・・②”

②”の式に④,④’の式を代入すると、

${\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }$