ヘロンの公式の証明

証明

$△ A B C$ において、 $A B = c$ , $B C = a$ , $C A = b$ とすると、 $S = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$ ただし、 $s = \frac{a + b + c}{2}$ となることを証明する。

AからBCに垂線を引き、その垂線の足をDとする。また、 $A D = h$ , $B D = d$ とする。

$△ A B D$ において、三平方の定理より、 $h^{2} = c^{2} - d^{2}$ ・・・①

$△ A C D$ において、三平方の定理より、 $h^{2} = b^{2} - (a - d)^{2}$ ・・・②

① , ②より、 $\begin{matrix} c^{2} - d^{2} & = b^{2} - (a - d)^{2} \\ c^{2} - d^{2} & = b^{2} - a^{2} + 2 a d - d^{2} \\ d & = \frac{a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 a} \end{matrix}$

この式を①に代入して、 $\begin{matrix} h^{2} & = c^{2} - (\frac{a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 a})^{2} \\ = (c + \frac{a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 a}) (c - \frac{a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 a}) \end{matrix}$

両辺に $4 a^{2}$ をかけて、 $\begin{matrix} 4 a^{2} h^{2} & = (2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}) (2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2}) \\ 4 a^{2} h^{2} & = ((a + c)^{2} - b^{2}) (b^{2} - (a - c)^{2}) \\ 4 a^{2} h^{2} & = (a + c + b) (a + c - b) (b + a - c) (b - a + c) \\ \frac{a h}{2} & = \frac{\sqrt{(a + c + b) (a - b + c) (a + b - c) (- a + b + c)}}{4} \end{matrix}$

この時、 $s = \frac{a + b + c}{2}$ とすると、 $\frac{a h}{2} = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$

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