半角公式の証明のソースを表示

==証明==

*<math>\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}</math>

*<math>\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}</math>

*<math>\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}</math>

となることを証明する。


*ピタゴラスの基本三角公式 ( <math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math> ) より、

<math>\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta</math>・・・①

二倍角公式 ( <math>\cos 2\theta = \cos^2 \theta -\sin^2 \theta</math> )に①の式を代入すると、

<math>\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta</math>・・・②

②の式を変形すると、

<math>\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}</math>・・・③

③の式に <math>\theta = \frac{\theta}{2}</math> を代入すると、

<math>\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}</math>・・・④


*ピタゴラスの基本三角公式 ( <math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math> ) より、

<math>\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta</math>・・・①’

二倍角公式 ( <math>\cos 2\theta = \cos^2 \theta -\sin^2 \theta</math> )に①‘の式を代入すると、

<math>\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1</math>・・・②’

②’の式を変形すると、

<math>\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}</math>・・・③’

③’の式に <math>\theta = \frac{\theta}{2}</math> を代入すると、

<math>\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}</math>・・・④’


*<math>\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}</math>・・・①”

①”の式に <math>\theta = \frac{\theta}{2}</math> を代入すると、

<math>\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}</math>・・・②”

②”の式に④,④’の式を代入すると、

<math>\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}</math>

{{DEFAULTSORT:はんかくこうしきのしようめい}}
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[[カテゴリ:数学的証明]]