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==証明==

<math>\bigtriangleup{ABC}</math> において、<math>AB = c</math> , <math>BC = a</math> , <math>CA = b</math> とすると、<math>S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}</math> ただし、<math>s = \frac{a + b + c}{2}</math> となることを証明する。



AからBCに垂線を引き、その垂線の足をDとする。また、 <math>AD = h</math> , <math>BD = d</math> とする。

<math>\bigtriangleup{ABD}</math> において、三平方の定理より、 <math>h^2 = c^2 - d^2</math> ・・・①

<math>\bigtriangleup{ACD}</math> において、三平方の定理より、 <math>h^2 = b^2 - (a - d)^2</math> ・・・②

① , ②より、
<math>\begin{align} c^2 - d^2 &= b^2 - (a - d)^2 \\
c^2 - d^2 &= b^2 - a^2 + 2ad - d^2 \\
d &= \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2a} \end{align}</math>

この式を①に代入して、
<math>\begin{align} h^2 &= c^2 - (\frac{a^2 - b^2 + c^2}{2a})^2 \\
&= (c + \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2a})(c - \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2a}) \end{align}</math>

両辺に <math>4a^2</math> をかけて、
<math>\begin{align} 4a^2h^2 &= (2ac + a^2 - b^2 + c^2)(2ac - a^2 + b^2 - c^2) \\
4a^2h^2 &= ((a + c)^2 - b^2)(b^2 - (a - c)^2) \\
4a^2h^2 &= (a + c + b)(a + c - b)(b + a - c)(b - a + c) \\
\frac{ah}{2} &= \frac{\sqrt{(a + c + b)(a - b + c)(a + b - c)(-a + b + c)}}{4} \end{align}</math>

この時、<math>s = \frac{a + b + c}{2}</math> とすると、
<math>\frac{ah}{2} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}</math>

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