フィボナッチ数列の一般項の導出のソースを表示

==フィボナッチ数列とは==
[https://ja.wikipedia.org/wiki/フィボナッチ数列 こちら]を参照、以下の漸化式で表される数列である。
<br>F<sub>0</sub>=0,
<br>F<sub>1</sub>=1,
<br>F<sub>n+2</sub>=F<sub>n</sub> + F<sub>n+1</sub>
<br>すなわち、0, 1, 1, 2, 3, 5のように2つ前の項と1つ前の項を足すと次の項になる。

==一般項とは==
その数列{a<sub>n</sub>}のn項目の数字を、nの式で表したもののこと。

==導出==
特性方程式というものを使って解く方法もあるが、今回はそうでない方法で求める。(特性方程式については、[[Topic:数列#フィボナッチ数列の一般項の求め方]]を参照のこと。)
===母関数とは===
母関数とは、数列{a<sub>n</sub>}の数列の情報をもつ係数を使った関数で、すなわち以下のような式のことである。
<br><math>\sum_{k=0}^ \infty {a_k x^k}={a_0 x^0}+{a_1 x^1}+{a_2 x^2} \cdots</math>
<br>よって、フィボナッチ数列の母関数は、<math>f(x)=0x^0+1x^1+1x^2+2x^3 \cdots</math>
===母関数の閉じた式===
閉じた式というのは、有限個の関数の組み合わせによって得られる式のことである。
例として、初項1,公比rの等比数列{b<sub>n</sub>}=1,r,r<sup>2</sup>,r<sup>3</sup>…について考える。
<br>これらのn項目までの和は、公式より<math>1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}</math>
<br>
n→∞の極限を考えてみると、|r|<1のとき、r<sup>n</sup>は0になるため、
<math>\lim_{r \to \infty}1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}=\frac{1}{1-r}</math>となる。
だから、形式的に1+r+r<sup>2</sup>+r<sup>3</sup>…=<math>\frac{1}{1-r}</math>とする。
===f(x)の閉じた式===
以下のように計算をする。
<br><math>f(x)=0x^0+1x^1+1x^2+2x^3 \cdots</math>　　　　　　　　　　・・①
<br><math>x \cdot f(x)=</math>　 　<math>0x^1+1x^2+1x^3+2x^4 \cdots</math> 　　　　　　 ・・②
<br><math>x^2 \cdot f(x)=</math> 　　　　　<math>0x^2+1x^3+1x^4+2x^5 \cdots</math>　　　・・③

そして、①-②-③を計算すると、2乗以上の項は0になるし、0x<sup>0</sup>=0のため、以下の式が得られる。
<br><math>f(x)- x \cdot f(x) - x^2 \cdot f(x) = x</math>
<br>f(x)でくくって、<math>f(x)(1-x-x^2)= x</math>
<br><math>f(x)=\frac{x}{1-x-x^2}</math>
<br>これがf(x)の閉じた式、母関数である。これを無限級数の形で明示的に表せばはフィボナッチ数列の第n項a<sub>n</sub>になる。
===等比数列との比較===
というわけで、f(x)を<math>\frac{1}{1-r}</math>に近づけることにする。
とりあえず1-x-x<sup>2</sup>を因数分解してみる。
これが、(1-ax)(1-bx)と因数分解できたとする。したがって、<math>\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{x}{(1-ax)(1-bx)}</math>となる。
これを、<math>\frac{1}{1-r}</math>の和の形にしたい。
===分解して係数比較===
部分分数分解という式変形を使う。
<br>
<math>\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{x}{(1-ax)(1-bx)}=\frac{s}{(1-ax)}+\frac{t}{(1-bx)}</math>とおくと、両辺を<math>(1-ax)(1-bx)</math>倍すると、<math>x = (1-bx)s+(1-ax)t = s-bsx+t-atx=-(bs+at)x+s+t</math>
===展開して係数比較===
したがって、s+t=0,bs+at=-1であるとわかる。
<br>
また、<math>1-x-x^2=(1-ax)(1-bx)=1-(a+b)x+abx</math>より、a+b=1.ab=-1とわかる。
===a,bの導出===
先程の式から、以下の方程式が導かれる。
<br>
<math>\begin{cases}
a+b &= 1 \\
ab&= -1
\end{cases}</math>
<br>ab=-1を変形する。<math>a=-\frac{1}{b}</math>
<br>上の式に代入して解く。<br><math>-\frac{1}{b}+b=1</math><br><math>-\frac{1}{b}+\frac{b^2}{b}=1</math><br><math>\frac{-1+b^2}{b}=1</math><br><math>-1+b^2=b</math><br><math>b^2-b-1=0</math><br>2次方程式の解の公式に代入する。
<math>b=\frac{-(-1)\pm \sqrt{ (-1)^2-4 \times1 \times(-1) }}{2\times 1}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}</math>
<br>aを代入して求めると、<math>\frac{1\mp\sqrt5}{2}</math>なので、a>bとすると、
<math>a=\frac{1+\sqrt5}{2}</math>、<math>b=\frac{1-\sqrt5}{2}</math>

===s,tの導出===
a,bを代入し、もう一度連立方程式を解く。
<br>
<math>\begin{cases}
s+t &= 0 \\
\frac{1-\sqrt5}{2}s+\frac{1+\sqrt5}{2}t&= -1
\end{cases}</math>
<br>下の式を2倍する。<math>(1-\sqrt{5})s+(1+\sqrt{5})t=-2</math>・・①
<br>上の式に<math>(1+\sqrt{5})</math>をかける。<math>(1+\sqrt{5})s+(1+\sqrt{5})t=0</math>・・②
<br>①ー②を計算<math>\left \{ (1-\sqrt{5})-(1+\sqrt{5}) \right \}s=-2</math>
<br>カッコ内を計算<math>-2\sqrt{5}s=-2</math>
<br>-2でわる<math>\sqrt{5}s=1</math>
<br>したがって、<math>s=\frac{1}{\sqrt{5}}</math>
これを上の式に代入して、<math>t=-\frac{1}{\sqrt{5}}</math>
===一般項を文字で表す===
以上から、得られた変数を代入して、<math>\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{(1-ax)}-\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{(1-bx)}= \frac{1}{\sqrt{5}}\left \{\frac{1}{1-ax}-\frac{1}{1-bx} \right \}</math>
この{}内の式は、先程の等比数列の無限級数、<math>\frac{1}{1-r}=1+r+r^2+r^3\cdots</math>であったので、このrにax,bxを代入した式となる。すなわち、
<math>\begin{align}
\frac{x}{1-x-x^2} & =\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{(1-ax)}-\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{(1-bx)} \\
&= \frac{1}{\sqrt{5}}\left \{ \frac{1}{1-ax}-\frac{1}{1-bx}\right\} \\
&=\frac{1}{\sqrt{5}} \left \{\ (1+ax+a^2x^2+a^3x^3\cdots) - (1+bx+b^2x^2+b^3x^3\cdots) \right \} \\
&=\frac{1}{\sqrt{5}} \left \{\ (a-b)x+(a^2-b^2)x^2+(a^3-b^3)x^3+\cdots \right \}\\
&=\frac{a-b}{\sqrt{5}}x+\frac{a^2-b^2}{\sqrt{5}}x^2+\frac{a^3-b^3}{\sqrt{5}}x^3+\cdots\\
\end{align}\frac{a^n-b^n}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}(a^n-b^n)</math>
<br>以上から、フィボナッチ数列のn項目は<math>\frac{a^n-b^n}{\sqrt{5}}</math>となる。

===結論===
a,bを代入して、
<math>\frac{1}{\sqrt{5}}(a^n-b^n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left ( \frac{1+\sqrt5}{2} \right )^n-\left ( \frac{1-\sqrt5}{2} \right ) ^n\right\}</math>
これがフィボナッチ数列の一般項である。

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