ド・モルガンの法則の証明のソースを表示

==証明==

2個の集合 <math>A</math> , <math>B</math> において、
<math>(A \cup B)^c = A^c \cap B^c</math> ,
<math>(A \cap B)^c = A^c \cup B^c</math>
となることを証明する。(<math>A^c</math> は <math>A</math> の補集合を表す。)


<math>\begin{align}
X \in (A \cup B)^c &\Leftrightarrow X \notin A \cup B \\
& \Leftrightarrow X \notin A and  X \notin B \\
& \Leftrightarrow X \in A^c and X \in B^c \\ 
& \Leftrightarrow X \in A^c \cap B^c \end{align}</math>
したがって、<math>(A \cup B)^c = A^c \cap B^c</math>・・・①


①より、
<math>\begin{align} 
(P \cup Q)^c &= P^c \cap Q^c \\
{(P \cup Q)^c}^c &= (P^c \cap Q^c)^c \\
&= P \cup Q \end{align}</math>
<math>A := P^c , B := Q^c</math>とすれば、
<math>(A \cap B)^c = A^c \cup B^c</math>

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[[カテゴリ:数学的証明]]