ド・モルガンの法則の証明

証明

2個の集合 $A$ , $B$ において、 $(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$ , $(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$ となることを証明する。($A^c$ は $A$ の補集合を表す。)

$\begin{array}{cc}X\in (A\cup B{)}^c& \iff X\notin A\cup B\\ & \iff X\notin AandX\notin B\\ & \iff X\in A^{c}andX\in B^c\\ & \iff X\in A^c\cap B^c\end{array}$ したがって、$(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$・・・①

①より、 $\begin{array}{cc}(P\cup Q{)}^c& =P^c\cap Q^c\\ {(P\cup Q{)}^c}^c& =(P^c\cap Q^c{)}^c\\ & =P\cup Q\end{array}$ $A:=P^c,B:=Q^c$とすれば、 $(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$