円周率が3.05より大きいことの証明

証明

円に内接する正十二角形

半径$\frac{1}{2}$の円に内接する正十二角形を考える。 この円の円周は、$2\pi r=\pi$
このとき、正十二角形の一辺の長さをaとすると、余弦定理より
$\begin{array}{cc}{a}^2& =b^2+c^2-2bc\cos 30^{\circ }\\ & ={\frac{1}{2}}^2+{\frac{1}{2}}^2-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ & =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\\ & =\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{array}$
したがって、
$a=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$
正十二角形の周の長さは$12a=6\sqrt{2-\sqrt{3}}$
また、円の円周の長さは正十二角形の周の長さより長い。
$6\sqrt{2-\sqrt{3}}<\pi$
両辺を2乗して、$36\cdot (2-\sqrt{3})<{\pi }^2$
$72-36\sqrt{3}=36\cdot (2-\sqrt{3})<{\pi }^2$
$1.73<\sqrt{3}<1.74$とすると、
$72-36\cdot 1.74<36\cdot (2-\sqrt{3})<{\pi }^2$
$9.36<36\cdot (2-\sqrt{3})<{\pi }^2$
$3.05^2=9.3025<9.36<36\cdot (2-\sqrt{3})<{\pi }^2$
よって、$3.05<\pi$
$Q.E.D$