三角関数の合成の証明

証明

$a\sin x+b\cos x=r\sin (x+\alpha )$　となることを証明する。

座標が(a,b)である点をPとし、OP＝rとする。

このとき、$r=\sqrt{a^2+b^2}$　である。

OPがx軸の正の向きとなす角を$\alpha$ とおくと、 $a=r\cos \alpha$ で、$b=r\sin \alpha$ である。

元の式の右辺に代入して、

$\begin{array}{cc}a\sin x+b\cos x& =r\cos \alpha \sin x+r\sin \alpha \cos x\\ & =r(\cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x)\\ & =r\sin (x+\alpha )\\ \end{array}$

(ただし、$\alpha$ は$\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ と、$\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$　を同時に満たすものである。)

利用方法

• 周期が等しくて、二つの異なる三角関数　$f(x)$の和をひとつの三角関数にまとめることができ、主に　$f(x)$　の最大値・最小値を求めるときにつかわれる。