2重根号の計算の証明

証明

$a>b>0$　としたとき、 $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$　, $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

となることを証明する。

$\begin{array}{cc}\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}& =\sqrt{(\sqrt{a}{)}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b}{)}^2}\\ & =\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2}\\ & =\sqrt{a}+\sqrt{b}\end{array}$　, $\begin{array}{cc}\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}& =\sqrt{(\sqrt{a}{)}^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b}{)}^2}\\ & =\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2}\\ & =\sqrt{a}-\sqrt{b}\end{array}$