ド・モルガンの法則の証明

証明

2個の集合 $A$ , $B$ において、 $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$ , $(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ となることを証明する。( $A^{c}$ は $A$ の補集合を表す。)

$\begin{matrix} X \in (A \cup B)^{c} & \Leftrightarrow X \notin A \cup B \\ \Leftrightarrow X \notin A a n d X \notin B \\ \Leftrightarrow X \in A^{c} a n d X \in B^{c} \\ \Leftrightarrow X \in A^{c} \cap B^{c} \end{matrix}$ したがって、 $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$ ・・・①

①より、 $\begin{matrix} (P \cup Q)^{c} & = P^{c} \cap Q^{c} \\ {(P \cup Q)^{c}}^{c} & = (P^{c} \cap Q^{c})^{c} \\ = P \cup Q \end{matrix}$ $A : = P^{c}, B : = Q^{c}$ とすれば、 $(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$

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