2次方程式の解の公式の証明

証明

２次方程式($a{x}^2+bx+c=0$) においての解の公式は、 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

特に、$b=2b^{\prime }$($a{x}^2+2b^{\prime }x+c=0$) においての解の公式は、 $x=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b{\text{'}}^2-ac}}{a}$

特に、$a=1$($x^2+bx+c=0$) においての解の公式は、 $x=-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$

となることを証明する。

$\begin{array}{cc}a{x}^2+bx+c& =0\\ a{x}^2+bx& =-c\end{array}$

両辺に $4a$ をかけると、 $4a^2{x}^2+4abx=-4ac$ 両辺に $b^2$ を加えると、 $4a^2{x}^2+4abx+b^2=b^2-4ac$ したがって、 $\begin{array}{cc}4a^2{x}^2+4abx+b^2& =b^2-4ac\\ (2ax+b{)}^2& =b^2-4ac\\ 2ax+b& =-b\pm \sqrt{b^2-4ac}\\ x& =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$ となり、2次関数の解の公式が導かれる。

また、解の公式において、$b=2b^{\prime }$ とすると、 $\begin{array}{cc}x& =\frac{-2b^{\prime }\pm \sqrt{(2b^{\prime }{)}^2-4ac}}{2a}\\ & =\frac{-2b^{\prime }\pm \sqrt{4b{\text{'}}^2-4ac}}{2a}\\ & =\frac{-2b^{\prime }\pm 2\sqrt{b{\text{'}}^2-ac}}{2a}\\ & =\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b{\text{'}}^2-ac}}{a}\end{array}$

また、解の公式において、$a=1$ とすると、 $\begin{array}{cc}x& =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}\\ & =-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2-4c}{4}}\\ & =-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-\frac{4c}{4}}\\ & =-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c}\end{array}$