加法定理の証明

証明

• $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
• $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
• $\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$

（すべて複号同順）

となることを証明する。

$\mathrm{△}ABC$ において、$BC=a$ , $CA=b$ , $AB=c$ , $\mathrm{\angle }CAB=\alpha$ , $\mathrm{\angle }ABC=\beta$ , $\mathrm{\angle }BCA=\gamma$ とし、 $\mathrm{△}ABC$ の外接円の半径を $R$ とする。

正弦定理より、 $a=2R\sin \alpha$・・・① , $b=2R\sin \beta$・・・② , $c=2R\sin \gamma$・・・③

第一余弦定理($c=a\cos \beta +b\cos \alpha$)に① , ② , ③ の式を代入すると、 $\begin{array}{cc}2R\sin \gamma & =2R\sin \alpha \cos \beta +2R\sin \beta \cos \alpha \\ \sin (\pi -\alpha -\beta )& =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha +\beta )& =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \end{array}$・・・④

④の式において、 $\beta :=-\beta$ とすると、 $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

したがって、 $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$・・・⑤

⑤の式において、 $\alpha :=\frac{\pi }{2}-\alpha$ とすると、

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$・・・⑥

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$・・・⑦

⑦の式に $\theta =\alpha \pm \beta$ を代入すると、

$\begin{array}{cc}\tan (\alpha \pm \beta )& =\frac{\sin (\alpha \pm \beta )}{\cos (\alpha \pm \beta )}\\ & =\frac{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }\end{array}$

分母分子に $\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta }$ をかけると、

$\begin{array}{cc}\tan (\alpha \pm \beta )& =\frac{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta }(\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta )}{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta }(\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta )}\\ & =\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }\end{array}$