ヘロンの公式の証明

証明

$△ABC$ において、$AB=c$ , $BC=a$ , $CA=b$ とすると、$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ ただし、$s=\frac{a+b+c}{2}$ となることを証明する。

AからBCに垂線を引き、その垂線の足をDとする。また、 $AD=h$ , $BD=d$ とする。

$△ABD$ において、三平方の定理より、 $h^2=c^2-d^2$ ・・・①

$△ACD$ において、三平方の定理より、 $h^2=b^2-(a-d{)}^2$ ・・・②

① , ②より、 $\begin{array}{cc}{c}^2-d^2& =b^2-(a-d{)}^2\\ c^2-d^2& =b^2-a^2+2ad-d^2\\ d& =\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}\end{array}$

この式を①に代入して、 $\begin{array}{cc}{h}^2& =c^2-(\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}{)}^2\\ & =(c+\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})(c-\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})\end{array}$

両辺に $4a^2$ をかけて、 $\begin{array}{cc}4a^2{h}^2& =(2ac+a^2-b^2+c^2)(2ac-a^2+b^2-c^2)\\ 4a^2{h}^2& =((a+c{)}^2-b^2)(b^2-(a-c{)}^2)\\ 4a^2{h}^2& =(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)\\ \frac{ah}{2}& =\frac{\sqrt{(a+c+b)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)}}{4}\end{array}$

この時、$s=\frac{a+b+c}{2}$ とすると、 $\frac{ah}{2}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$