Topic:数列のソースを表示

この教材は[[Topic:高校の数学]]の一部です。
==数列とは==
数列とは、名前の通り、数の列です。規則性のあるものないもの、有限無限など、様々な種類がありますが、今回は規則性のあるものを種類別にして紹介します。
== 数列とその和 ==

=== 等差数列と等比数列 ===

=== いろいろな数列 ===

== 漸化式と数学的帰納法 ==

=== 漸化式と数列 ===
==== フィボナッチ数列の一般項の求め方 ====
[[:w:フィボナッチ数列|フィボナッチ数列]]

: ''F''<sub>0</sub> = 0
: ''F''<sub>1</sub> = 1
: ''F''<sub>''n''</sub> = ''F''<sub>''n'' - 1</sub> +  ''F''<sub>''n'' - 2</sub> (''n'' ≥ 2)

の一般項が[[:b:高等学校数学B/数列#隣接三項間漸化式（発展）|特性方程式]]''x''<sup>2</sup> - ''x'' - 1 = 0を解くことによって求められるのはなぜでしょうか。

[[:w:行列|行列]]の[[:w:固有値問題|固有値問題]]でも特性方程式という用語が出てきますが、実は[[:w:漸化式|漸化式]]と行列は関係しています。

フィボナッチ数列は行列を使って次のように表すことができます。

: <math>\begin{pmatrix} F_{n + 1} \\ F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n - 1} \end{pmatrix}</math>

これを

: <math>\vec F_n = \mathbf{A} \vec F_{n - 1}</math>

と書けば、[[:b:高等学校数学B/数列#等差数列と等比数列|等比数列]]の一般項のようにして

: <math>\vec F_n = \mathbf{A}^n \vec F_0</math> … ①

と解けることは明らかでしょう。

行列'''A'''の''n''乗は[[:w:対角化|対角化]]によって簡単に計算することができます。

行列'''A'''の固有値は特性方程式det('''A''' - ''λI'') = (1 - ''λ'')·(-''λ'') - 1 = ''λ''<sup>2</sup> - ''λ'' - 1 = 0の解なので、''λ'' = ''φ'', ''ψ''（ただし''φ''は[[:w:黄金比|黄金比]]、''ψ'' = -''φ''<sup>-1</sup> = 1 - ''φ''）、固有ベクトルはそれぞれ<math>\vec v = \begin{pmatrix} \phi \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \psi \\ 1 \end{pmatrix}</math>です。

いま<math>\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \phi & \psi \\ 1 & 1 \end{pmatrix}</math>とおくと、<math>\mathbf{D} = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} = \begin{pmatrix} \phi^n & 0 \\ 0 & \psi^n \end{pmatrix}</math>は[[:w:対角行列|対角行列]]となり、'''A''' = '''PDP'''<sup>-1</sup>から、'''A'''<sup>''n''</sup> = '''PD'''<sup>''n''</sup>'''P'''<sup>-1</sup>と計算できます。これを①に代入すると

: <math>\begin{align}
\begin{pmatrix} F_{n + 1} \\ F_n \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \phi & \psi \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi^n & 0 \\ 0 & \psi^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi & \psi \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} F_1 \\ F_0 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} \frac{\phi^{n + 1} - \psi^{n + 1}}{\phi - \psi} \\ \frac{\phi^n - \psi^n}{\phi - \psi} \end{pmatrix}
\end{align}</math>

となり、フィボナッチ数列の一般項''F''<sub>''n''</sub> = (''φ''<sup>''n''</sup> - ''ψ''<sup>''n''</sup>)/(''φ'' - ''ψ'') = (''φ''<sup>''n''</sup> - ''ψ''<sup>''n''</sup>)/√5が求められました。

=== 数学的帰納法 ===
==== 数学的帰納法は超準モデルを排除する? ====
[[File:Domino effect visualizing exclusion of junk term by induction axiom.jpg|thumb|right|右の明るい無限に続くドミノが標準の自然数（先頭のドミノが0）、左の暗いループしているドミノが[[:w:算術の超準モデル|超準数]]]]

[[:b:高等学校数学B/数列#数学的帰納法|数学的帰納法]]は強力な証明法ですが、もう一つ隠れた意味があるという見方もあります。

それは、''0に1を足していって得られるもののみが自然数である''ということです。

もし数学的帰納法が成り立たないとしたら、つまり「あるドミノが倒れたら次のドミノも倒れる」かつ「最初のドミノが倒れる」としても、すべてのドミノが倒れるとは限らないとしたら、それは''違うドミノの列が存在する''ことを意味します。

自然数に置き換えると、0, 1, 2, 3, 4, 5, …という自然数とは別に、到達不能な自然数が存在するということになってしまいます。

そのような自然数が存在しないことを数学的帰納法は保証しているとも考えられますが、これは正しくありません。

実際には、一階の[[:w:ペアノ算術|ペアノ算術]] (PA) では[[:w:コンパクト性定理|コンパクト性定理]]により[[:w:算術の超準モデル|超準モデル]]の存在を排除することはできないことが証明されています<ref>[[:w:en:Talk:Mathematical induction/Archive#Explain relation between Peano's induction axiom and exclusion of nonstandard models in article]]</ref><ref>[https://mathoverflow.net/questions/101160/axiom-to-exclude-nonstandard-natural-numbers Axiom to exclude nonstandard natural numbers - MathOverflow]</ref>。

== 参考文献 ==
<references/>


{{stub}}

{{DEFAULTSORT:すうれつ}}
[[カテゴリ:解析学]]
[[カテゴリ:高校の数学]]
[[カテゴリ:数|列]]