2次方程式の解の公式の証明のソースを表示

==証明==
２次方程式(<math>ax^2 + bx + c = 0</math>) においての解の公式は、
<math>x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

特に、<math>b = 2b'</math>(<math>ax^2 + 2b'x + c = 0</math>) においての解の公式は、
<math>x = \frac{- b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a}</math>

特に、<math>a = 1</math>(<math>x^2 + bx + c = 0</math>) においての解の公式は、
<math>x = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - c}</math>

となることを証明する。


<math>\begin{align}ax^2 + bx + c &= 0 \\
ax^2 + bx &= -c \end{align}</math>

両辺に <math>4a</math> をかけると、
<math>4a^2x^2 + 4abx = -4ac</math>
両辺に <math>b^2</math> を加えると、
<math>4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac</math>
したがって、
<math>\begin{align} 4a^2x^2 + 4abx + b^2 &= b^2 - 4ac \\
(2ax + b)^2 &= b^2 - 4ac \\
2ax + b &= -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \\
x &= \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{align}</math>
となり、2次関数の解の公式が導かれる。


また、解の公式において、<math>b = 2b'</math> とすると、
<math>\begin{align} x &= \frac{- 2b' \pm \sqrt{(2b')^2 - 4ac}}{2a} \\
&= \frac{- 2b' \pm \sqrt{4b'^2 - 4ac}}{2a} \\
&= \frac{- 2b' \pm 2\sqrt{b'^2 - ac}}{2a} \\
&= \frac{- b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a} \end{align}</math>


また、解の公式において、<math>a = 1</math> とすると、
<math>\begin{align} x &= \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4c}}{2} \\
&= -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4c}{4}} \\
&= -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - \frac{4c}{4}} \\
&= -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - c} \end{align}</math>

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