２倍角公式の証明のソースを表示

== 証明 ==

<math>\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta</math>

<math>\cos 2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta</math>

<math>\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}</math>

となることを証明する。


[[加法定理の証明|加法定理]]より、

<math>\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta</math>

<math>\cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta</math>

<math>\tan ( \alpha + \beta ) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}</math>


したがって、

<math>\begin{align}
\sin 2 \theta & = \sin (\theta + \theta ) \\
& = \sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta \\
& = 2 \sin \theta \cos \theta
\end{align}</math>


<math>\begin{align}
\cos 2 \theta & = \cos ( \theta + \theta ) \\
& = \cos \theta \cos \theta - \sin \theta \sin \theta \\
& = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta
\end{align}</math>


<math>\begin{align}
\tan 2 \theta & = \tan ( \theta + \theta ) \\
& = \frac{ \tan \theta + \tan \theta }{ 1 - \tan \theta \tan \theta } \\
& =  \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}
\end{align}</math>

{{DEFAULTSORT:にはいかくこうしきのしようめい}}
[[カテゴリ:三角関数]]
[[カテゴリ:数学的証明]]