加法定理の証明のソースを表示

==証明==

* <math>\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta </math>
* <math>\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta </math>
* <math>\tan(\alpha \pm \beta) =  \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta} </math>
（すべて複号同順）

となることを証明する。


<math>\triangle ABC</math> において、<math>BC = a</math> , 
<math>CA = b</math> , 
<math>AB= c</math> , 
<math>\angle CAB = \alpha</math> , 
<math>\angle ABC = \beta</math> , 
<math>\angle BCA = \gamma</math> 
とし、
<math>\triangle ABC</math> 
の外接円の半径を 
<math>R</math> 
とする。

正弦定理より、
<math>a = 2R \sin \alpha</math>・・・① , 
<math>b = 2R \sin \beta</math>・・・② , 
<math>c = 2R \sin \gamma</math>・・・③

第一余弦定理(<math>c = a \cos \beta + b \cos \alpha</math>)に① , ② , ③ の式を代入すると、
<math>\begin{align}
2R \sin \gamma & = 2R \sin \alpha \cos \beta + 2R \sin \beta \cos \alpha \\
\sin (\pi - \alpha - \beta) & = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\sin (\alpha + \beta) & = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
\end{align}</math>・・・④


④の式において、 <math>\beta := -\beta</math> とすると、
<math>\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta</math>


したがって、
<math>\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta </math>・・・⑤


⑤の式において、 <math>\alpha := \frac{\pi}{2} - \alpha</math> とすると、

<math>\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta </math>・・・⑥

<math>\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}</math>・・・⑦

⑦の式に <math>\theta = \alpha \pm \beta</math> を代入すると、

<math>\begin{align}
\tan(\alpha \pm \beta) & = \frac{\sin(\alpha \pm \beta)}{\cos(\alpha \pm \beta)} \\
& = \frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta}
\end{align}</math>

分母分子に <math> \frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}</math> をかけると、

<math>\begin{align}
\tan(\alpha \pm \beta) & = \frac { \frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}(\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta)}{ \frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}(\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta)} \\ 
&=  \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta}
\end{align}</math>

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