円周率が3.05より大きいことの証明のソースを表示

==証明==
[[File:円に内接する正十二角形.png|thumb|円に内接する正十二角形]]
半径<math>\frac{1}{2}</math>の円に内接する正十二角形を考える。
この円の円周は、<math>2\pi r=\pi</math>
<br>このとき、正十二角形の一辺の長さをaとすると、余弦定理より
<br><math>\begin{align}
a^2 &= b^2+c^2-2bc \cos 30^\circ \\
&=\frac{1}{2}^2+\frac{1}{2}^2-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
&= \frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\\
&=\frac{2-\sqrt{3}}{4}
\end{align}</math>
<br>したがって、
<br><math>a=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}</math>
<br>正十二角形の周の長さは<math>12a=6\sqrt{2-\sqrt{3}}</math>
<br>また、円の円周の長さは正十二角形の周の長さより長い。
<br><math>6\sqrt{2-\sqrt{3}}<\pi</math>
<br>両辺を2乗して、<math>36\cdot(2-\sqrt{3})<\pi^2</math>
<br><math>72-36\sqrt{3} = 36\cdot(2-\sqrt{3})<\pi^2</math>
<br><math>1.73<\sqrt{3}<1.74</math>とすると、
<br><math>72-36\cdot1.74 < 36\cdot(2-\sqrt{3})<\pi^2</math>
<br><math>9.36 < 36\cdot(2-\sqrt{3})<\pi^2</math>
<br><math>3.05^2=9.3025<9.36 < 36\cdot(2-\sqrt{3})<\pi^2</math>
<br>よって、<math>3.05<\pi</math>
<br><big><math>Q.E.D</math></big>
[[Category:数学的証明]]
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