三角関数の合成の証明のソースを表示

== 証明 ==

<math>a \sin x + b \cos x = r \sin (x + \alpha)</math>　となることを証明する。


座標が(a,b)である点をPとし、OP＝rとする。

このとき、<math> r = \sqrt{a ^2 + b ^2} </math>　である。

OPがx軸の正の向きとなす角を<math>\alpha</math> とおくと、
<math>a=r\cos\alpha</math> で、<math>b=r\sin\alpha</math> である。

元の式の右辺に代入して、

<math>\begin{align}
  a \sin x + b \cos x& = r\cos\alpha\sin x + r\sin\alpha\cos x \\
      & = r(\cos\alpha\sin x + \sin\alpha\cos x) \\
      & = r\sin (x + \alpha) \\
\end{align}</math>

(ただし、<math>\alpha</math> は<math>\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a ^2 + b ^2}}</math> と、<math>\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a ^2 + b ^2}}</math>　を同時に満たすものである。)

== 利用方法 ==
* 周期が等しくて、二つの異なる三角関数　<math>f(x)</math>の和をひとつの三角関数にまとめることができ、主に　<math>f(x)</math>　の最大値・最小値を求めるときにつかわれる。

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